Campos de força estática são campos, como campos simples , elétricos , magnéticos ou gravitacionais , que existem sem excitações. O método de aproximação mais comumque os físicos usam para cálculos de espalhamento pode ser interpretado como forças estáticas que surgem das interações entre dois corpos mediadas por partículas virtuais, partículas que existem apenas por um curto período de tempo determinado pelo princípio da incerteza . ^[1] As partículas virtuais, também conhecidas como portadores de força , são bósons , com diferentes bósons associados a cada força. ^[2]

A descrição de partículas virtuais de forças estáticas é capaz de identificar a forma espacial das forças, como o comportamento inverso-quadrado na lei de Newton da gravitação universal e na lei de Coulomb . Também é capaz de prever se as forças são atraentes ou repulsivas para corpos semelhantes.

A formulação integral do caminho é a linguagem natural para descrever os portadores de força. Este artigo usa a formulação integral do caminho para descrever os portadores de força para os campos de rotação 0, 1 e 2. Pions , fótons e gravitons se enquadram nessas respectivas categorias.

Existem limites para a validade da imagem de partícula virtual. A formulação de partícula virtual é derivada de um método conhecido como teoria de perturbação, que é uma aproximação, presumindo que as interações não são muito fortes, e foi planejado para problemas de espalhamento, não estados ligados, como átomos. Para os quarks fortes de ligação de força em núcleons a baixas energias, nunca foi mostrado que a teoria de perturbação produz resultados de acordo com experimentos, ^[3] portanto, a validade da imagem de "partículas que mediam forças" é questionável. Da mesma forma, para estados ligados, o método falha. ^[4]Nestes casos, a interpretação física deve ser reexaminada. Como exemplo, os cálculos de estrutura atômica em física atômica ou de estrutura molecular em química quântica não poderiam ser facilmente repetidos, se é que se usam, usando a figura "partícula de mediação de força". ^{[ citação necessário ]}

O quadro "partícula mediadora de força" (FMPP) é usado porque a interação clássica de dois corpos (a lei de Coulomb, por exemplo), dependendo de seis dimensões espaciais, é incompatível com a invariância de Lorentz da equação de Dirac . O uso do FMPP é desnecessário na mecânica quântica não- relativística , e a lei de Coulomb é usada como dada em física atômica e química quântica para calcular tanto os estados ligados quanto os de espalhamento. Uma teoria quântica relativista não perturbativa, na qual a invariância de Lorentz é preservada, é alcançável avaliando a lei de Coulomb como uma interação de 4 espaços usando o vetor de posição de 3 espaços de um elétron de referência obedecendo a equação de Dirac e a trajetória quântica de um segundo elétron que depende apenas do tempo escalonado. A trajetória quântica de cada elétron em um conjunto é inferida da corrente de Dirac para cada elétron, definindo-a igual a um campo de velocidade multiplicando a densidade quântica, calculando um campo de posição da integral de tempo do campo de velocidade e finalmente calculando uma trajetória quântica a partir do valor de expectativa do campo de posição. As trajetórias quânticas são naturalmente dependentes do spin, e a teoria pode ser validada verificando se o Princípio de Exclusão de Pauli é obedecido para uma coleção de férmions.

Forças Clássicas [ editar ]

A força exercida por uma massa sobre a outra e a força exercida por uma carga sobre a outra são notavelmente semelhantes. Ambos caem como o quadrado da distância entre os corpos. Ambos são proporcionais ao produto das propriedades dos corpos, massa no caso da gravitação e carga no caso da eletrostática.

Eles também têm uma diferença marcante. Duas massas se atraem, enquanto duas cargas iguais se repelem.

Em ambos os casos, os corpos parecem agir uns sobre os outros a uma certa distância. O conceito de campo foi inventado para mediar a interação entre os corpos, eliminando assim a necessidade de ação à distância . A força gravitacional é mediada pelo campo gravitacional e a força de Coulomb é mediada pelo campo eletromagnético .

Força gravitacional [ editar ]

A força gravitacional em uma massa$${\ displaystyle m} exercido por outra massa $${\ displaystyle M} é

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = -G {mM \ over {r} ^ {2}} \, \ mathbf {\ hat {r}} = m \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ certo),}

x

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onde G é a constante gravitacional , r é a distância entre as massas e$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}é o vetor unitário da massa$${\ displaystyle M} massa $${\ displaystyle m}.

A força também pode ser escrita

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ right),}

Onde $${\ displaystyle \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ right)}é o campo gravitacional descrito pela equação de campo

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho _ {m},}

X

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Onde $${\ displaystyle \ rho _ {m}}é a densidade de massa em cada ponto no espaço.

Força de Coulomb [ editar ]

A força de Coulomb eletrostática em uma carga$${\ displaystyle q} exercido por uma carga $${\ displaystyle Q}é ( unidades do SI )

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = {1 \ acima de 4 \ pi \ varepsilon _ {0}} {qQ \ sobre r ^ {2}} \ mathbf {\ hat {r}},}

Onde $${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}é a permissividade do vácuo ,$${\ displaystyle r} é a separação das duas cargas e $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}é um vetor unitário na direção de carga$${\ displaystyle Q} carregar $${\ displaystyle q}.

A força de Coulomb também pode ser escrita em termos de um campo eletrostático :

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} \ right),}

Onde

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho _ {q}} {\ varepsilon _ {0}}};}

X

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$${\ displaystyle \ rho _ {q}}sendo a densidade de carga em cada ponto no espaço.

Troca de partículas virtuais [ editar ]

Na teoria das perturbações, forças são geradas pela troca de partículas virtuais . A mecânica da troca de partículas virtuais é melhor descrita com a formulação integral do caminho da mecânica quântica. Há insights que podem ser obtidos, no entanto, sem entrar na máquina de integrais de caminho, como por que as forças gravitacionais e eletrostáticas clássicas caem como o quadrado inverso da distância entre os corpos.

Formulação integral do caminho da troca de partículas virtuais [ edit ]

Uma partícula virtual é criada por uma perturbação no estado de vácuo , e a partícula virtual é destruída quando é absorvida de volta ao estado de vácuo por outro distúrbio. As perturbações são imaginadas como devidas a corpos que interagem com o campo de partículas virtuais.

A amplitude da probabilidade [ edit ]

Usando unidades naturais ,$${\ displaystyle \ hbar = c = 1}, a amplitude de probabilidade para a criação, propagação e destruição de uma partícula virtual é dada, na formulação integral do caminhopor

$${\ displaystyle Z \ equiv \ langle 0 | \ exp \ left (-i {\ hat {H}} T \ right) | 0 \ rangle = \ exp \ left (-iET \ right) = \ int D \ varphi \ ; \ exp \ left (i {\ mathcal {S}} [\ varphi] \ right) \; = \ exp \ left (iW \ right)}

X

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Onde $${\ displaystyle {\ hat {H}}}é o operador hamiltoniano ,$${\ displaystyle T} é o tempo decorrido, $${\ displaystyle E} é a mudança de energia devido à perturbação, $${\ displaystyle W = -ET} é a mudança de ação devido à perturbação, $${\ displaystyle \ varphi}é o campo da partícula virtual, a integral é sobre todos os caminhos, e a ação clássica é dada por

$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi] = \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \ {{\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] \,}}

Onde $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)]}é a densidade lagrangiana .

Aqui, a métrica do espaço - tempo é dada por

{\ displaystyle \ eta _ {\ mi \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}

A integral do caminho geralmente pode ser convertida para a forma

$${\ displaystyle Z = \ int \ exp \ left [i \ int d ^ {4} x \ left ({\ frac {1} {2}} \ varphi {\ hat {O}} \ varphi + J \ varphi \ direita) \ right] D \ varphi}

Onde $${\ displaystyle {\ hat {O}}} é um operador diferencial com $${\ displaystyle \ varphi} e $${\ displaystyle J}funções do espaço-tempo . O primeiro termo no argumento representa a partícula livre e o segundo termo representa o distúrbio no campo de uma fonte externa, como uma carga ou uma massa.

A integral pode ser escrita (ver integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle Z \ propto \ exp \ left (i \ left (J \ right) \ right)}

Onde

$${\ displaystyle W \ left (J \ right) = - {1 \ over 2} \ iint d ^ {4} x \; d ^ {4} y \; J \ esquerdo (x \ right) D \ left (xy \ right) J \ left (y \ right)}

X

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é a mudança na ação devido às perturbações e ao propagador $${\ displaystyle D \ left (xy \ right)} é a solução de

$${\ displaystyle {\ hat {O}} D \ left (xy \ right) = \ delta ^ {4} \ left (xy \ right)}.

X

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Energia de interação [ edit ]

Assumimos que há dois distúrbios pontuais representando dois corpos e que os distúrbios são imóveis e constantes no tempo. As perturbações podem ser escritas

$${\ displaystyle J \ left (x \ right) = \ left (J_ {1} + J_ {2}, 0,0,0 \ right)}

$${\ displaystyle J_ {1} = a_ {1} \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {1} \ right)}

$${\ displaystyle J_ {2} = a_ {2} \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {2} \ right)}

onde as funções delta estão no espaço, as perturbações estão localizadas em $${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {1}} e $${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {2}}e os coeficientes $${\ displaystyle a_ {1}} e $${\ displaystyle a_ {2}} são os pontos fortes das perturbações.

Se negligenciarmos as auto-interações dos distúrbios, então W se torna

$${\ displaystyle W \ left (J \ right) = - \ iint d ^ {4} x \; d ^ {4} y \; J_ {1} \ left (x \ right) {1 \ acima de 2} \ left [D \ left (xy \ right) + D \ esquerdo (yx \ right) \ right] J_ {2} \ left (y \ right)},

que pode ser escrito

$${\ displaystyle W \ left (J \ right) = - Ta_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left ( k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; \ exp \ left (\ {vec {k}} \ cdot \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ right) \ right)}.

Aqui $${\ displaystyle D \ left (k \ right)} é a transformada de Fourier de

$${\ displaystyle {1 \ over 2} \ left [D \ esquerdo (xy \ right) + D \ esquerdo (yx \ right) \ right]}.

Finalmente, a mudança de energia devido às perturbações estáticas do vácuo é

$${\ displaystyle E = - {W \ over T} = a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left ( k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; \ exp \ left (\ {vec {k}} \ cdot \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ right) \ right)}.

X

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Se essa quantidade for negativa, a força é atraente. Se for positivo, a força é repulsiva.

Exemplos de correntes estáticas, interativas e sem movimento são o Potencial de Yukawa , o potencial de Coulomb em um vácuo e o potencial de Coulomb em um simples plasma ou gás de elétron .

A expressão para a energia de interação pode ser generalizada para a situação na qual as partículas pontuais estão se movendo, mas o movimento é lento comparado com a velocidade da luz. Exemplos são a interação de Darwin no vácuo e a interação de Darwin em um plasma .

Finalmente, a expressão para a energia de interação pode ser generalizada para situações nas quais as perturbações não são partículas pontuais, mas possivelmente cargas de linha, tubos de carga ou vórtices atuais. Exemplos são cargas de duas linhas embutidas em um plasma ou gás de elétrons , potencial de Coulomb entre dois circuitos de corrente embutidos em um campo magnético e interação magnética entre circuitos de corrente em um plasma simples ou gás de elétron . Como visto da interação de Coulomb entre os tubos de exemplo de carga, mostrados abaixo, essas geometrias mais complicadas podem levar a fenômenos tão exóticos quanto números quânticos fracionários .

Exemplos selecionados [ edit ]

O potencial de Yukawa: a força entre dois núcleons em um núcleo atômico [ editar ]

Considere a rotação -0 densidade Lagrangiana ^[5]

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = {1 \ acima de 2} \ left [\ left (\ partial \ varphi \ right) ^ {2} -m ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right]}.

A equação de movimento para este lagrangiano é a equação de Klein-Gordon

$${\ displaystyle \ partial ^ {2} \ varphi + m ^ {2} \ varphi = 0}.

Se adicionarmos uma perturbação, a amplitude de probabilidade se torna

$${\ displaystyle Z = \ intD \ varphi \; \ exp \ left \ {i \ intd ^ {4} x \; \ left [{1 \ over 2} \ left (\ left (\ parcial \ varphi \ right ) ^ {2} -m ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right) + J \ varphi \ right] \ right \}}.

Se integrarmos por partes e negligenciarmos os termos de fronteira no infinito, a amplitude de probabilidade se torna

$${\ displaystyle Z = \ intD \ varphi \; \ exp \ left \ {i \ intd ^ {4} x \; \ left [- {1 \ over 2} \ varphi \ left (\ partial ^ {2} + m ^ {2} \ right) \ varphi + J \ varphi \ right] \ right \}}.

Com a amplitude desta forma, pode ser visto que o propagador é a solução de

$${\ displaystyle - \ left (\ partial ^ {2} + m ^ {2} \ right) D \ left (xy \ right) = \ delta ^ {4} \ left (xy \ right)}.

A partir disso, pode ser visto que

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}} }.

A energia devido às perturbações estáticas torna-se (veja integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle E = - {a_ {1} a_ {2} \ acima de 4 \ pi r} \ exp \ left (-mr \ right)}

X

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com

$${\ displaystyle r ^ {2} = \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ right) ^ {2}}

que é atraente e tem uma gama de

$${\ displaystyle {1 \ over m}}.

Yukawa propôs que este campo descreve a força entre dois núcleons em um núcleo atômico. Permitiu-lhe prever tanto o alcance quanto a massa da partícula, agora conhecida como píon , associada a esse campo.

Eletrostática [ editar ]

O potencial de Coulomb no vácuo [ editar ]

Considere o spin- 1 Lagoca de Proca com uma perturbação ^[6]

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = - {1 \ acima de 4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} + {1 \ acima de 2} m ^ { 2} A _ {\ mu} A ^ {\ mu} + A _ {\ mu} J ^ {\ mu}}

Onde

$${\ displaystyle F _ {\ mi \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu}},

carga é conservada

$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0},

e nós escolhemos o medidor de Lorenz

$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0}.

Além disso, assumimos que há apenas um componente de tempo $${\ displaystyle J ^ {0}}à perturbação. Na linguagem comum, isso significa que há uma carga nos pontos de perturbação, mas não há correntes elétricas.

Se seguirmos o mesmo procedimento que fizemos com o potencial Yukawa, descobriremos que

$${\ displaystyle - {1 \ over 4} \ int d ^ {4} xF _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = - {1 \ over 4} \ int d ^ {4} x \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ right) \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ { \ nu} A ^ {\ mu} \ right)}

$${\ displaystyle = {1 \ over 2} \ int d ^ {4} x \; A _ {\ nu} \ left (\ partial ^ {2} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ direita) = {1 \ ao longo de 2} \ int d ^ {4} x \; A ^ {\ mu} \ esquerda (\ eta _ {\ mu \ nu} \ parcial ^ {2} \ right) A ^ {\ nu},}

que implica

$${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ alpha} \ left (\ partial ^ {2} + m ^ {2} \ right) D ^ {\ alpha \ nu} \ left (xy \ right) = \ delta _ { \ mu} ^ {\ nu} \ delta ^ {4} \ left (xy \ right)}

e

$${\ displaystyle D} {\ mi \ nu} \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; \ eta _ {\ mu \ nu} {1 \ over -k ^ { 2} + m ^ {2}}.}

Isso produz

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}}}

para o propagador em tempo e

$${\ Displaystyle E = + {a_ {1} A_ {2} \ ao longo de 4 \ pi r} \ exp \ esquerda (MR \ direita)}

que tem o sinal oposto ao caso Yukawa.

No limite de zero de massa de fótons , o Lagrangiano reduz-se ao Lagrangiano por eletromagnetismo

$${\ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ acima de 4 \ pi r}.}

X

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Portanto, a energia reduz a energia potencial para a força de Coulomb e os coeficientes $${\ displaystyle a_ {1}} e $${\ displaystyle a_ {2}}são proporcionais à carga elétrica. Ao contrário do caso Yukawa, os corpos, nesse caso eletrostático, se repelem.

Potencial de Coulomb em um plasma simples ou gás de elétron [ editar ]

Ondas de plasma [ editar ]

A relação de dispersão para ondas de plasma é ^[7]

$${\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + \ gamma \ left (\ omega \ right) {T_ {e} \ over m} {\ vec {k}} ^ {2 }.}

Onde $${\ displaystyle \ omega} é a frequência angular da onda,

$${\ displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ over m}}

representa a frequência de plasma ,$${\ displaystyle e}é a magnitude da carga de elétrons ,$${\ displaystyle m}é a massa de elétrons ,$${\ displaystyle T_ {e}}é a temperatura do elétron ( constante de Boltzmann igual a um), e$${\ displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)}é um fator que varia com a frequência de um a três. Em altas freqüências, na ordem da freqüência do plasma, a compressão do fluido eletrônico é um processo adiabático e$${\ displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)}é igual a três. Em baixas freqüências, a compressão é um processo isotérmico e$${\ displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)}é igual a um. Efeitos de retardamento foram negligenciados na obtenção da relação de dispersão de onda de plasma.

Para baixas frequências, a relação de dispersão torna-se

$${\ displaystyle {\ vec {k}} ^ {2} + {\ vec {k}} _ {D} ^ {2} = 0}

Onde

$${\ displaystyle k_ {D} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ over T_ {e}}}

é o número de Debye, que é o inverso do comprimento de Debye . Isso sugere que o propagador é

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ {2 }}}.

De fato, se os efeitos do retardamento não são negligenciados, então a relação de dispersão é

$${\ displaystyle -k_ {0} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ {2} - {m \ over T_ {e}} k_ {0} ^ {2 } = 0,}

que de fato produz o propagador adivinhado. Este propagador é o mesmo que o propagador Coulomb massivo com a massa igual ao comprimento de Debye inverso. A energia de interação é, portanto,

$${\ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ acima de 4 \ pi r} \ exp \ left (-k_ {D} r \ right).}

X

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O potencial de Coulomb é exibido em escalas de comprimento de um comprimento de Debye.

Plasmons [ editar ]

Em um gás quântico , ondas de plasma são conhecidas como plasmons . A triagem de Debye é substituída pela triagem de Thomas-Fermi para produzir ^[8]

$${\ displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ acima de 4 \ pi r} \ exp \ left (-k_ {s} r \ right)}

onde o inverso do comprimento de triagem Thomas-Fermi é

$${\ displaystyle k_ {s} ^ {2} = {6 \ pi ne ^ {2} \ over \ epsilon _ {F}}}

e $${\ displaystyle \ epsilon _ {F}}é a energia de Fermi

$${\ displaystyle \ epsilon _ {F} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({3 \ pi ^ {2} n} \ right) ^ {2/3} \ ,. }

Essa expressão pode ser derivada do potencial químico de um gás de elétrons e da equação de Poisson . O potencial químico de um gás de elétrons próximo do equilíbrio é constante e dado por

$${\ displaystyle \ mu = -e \ varphi + \ epsilon _ {F}}

Onde $${\ displaystyle \ varphi}é o potencial elétrico . Linearizar a energia de Fermi em primeira ordem na flutuação da densidade e combinando com a equação de Poisson produz o comprimento da triagem. O portador de força é a versão quântica da onda de plasma .

Duas cargas de linha incorporadas em um plasma ou gás de elétron [ editar ]

Consideramos uma linha de carga com eixo na direção z embutida em um gás de elétrons

$${\ displaystyle J_ {1} \ left (x \ right) = {a_ {1} \ over L_ {B}} {1 \ acima de 2 \ pi r} \ delta ^ {2} \ left (r \ right)}

Onde $${\ displaystyle r} é a distância no plano xy da linha de carga, $${\ displaystyle L_ {B}}é a largura do material na direção z. O sobrescrito 2 indica que a função delta de Dirac está em duas dimensões. O propagador é

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {Ds} ^ {2 }}}

Onde $${\ displaystyle k_ {Ds}}é o comprimento de triagem invertido de Debye-Hückel ou o comprimento de triagem inverso de Thomas-Fermi .

A energia de interação é

$${\ displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ acima de 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \ ;} \ over k ^ {2} + k_ {Ds} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) = \ left ({a_ {1} \ , a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} à direita) K_ {0} \ left (k_ {Ds} r_ {12} \ right)}

X

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Onde

$${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ left (x \ right)}

e

$${\ displaystyle K_ {0} \ left (x \ right)}

são funções de Bessel e$${\ displaystyle r_ {12}}é a distância entre as duas cargas de linha. Na obtenção da energia de interação, utilizamos as integrais (ver integrais comuns na teoria quântica de campos ).

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ acima de 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ esquerdo (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} _ {0} \ left (p \ right)}

e

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2} + m ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ restante (kr \ right) = K_ {0} \ left (mr \ right).}

Para $${\ displaystyle k_ {Ds} r_ {12} \ ll 1}, temos

$${\ displaystyle K_ {0} \ left (k_ {Ds} r_ {12} \ right) \ rightarrow - \ ln \ left ({k_ {Ds} r_ {12} \ over 2} \ right) +0.5772.}

Potencial de Coulomb entre dois circuitos de corrente embutidos em um campo magnético [ editar ]

Energia de interação para vórtices [ editar ]

Consideramos uma densidade de carga em tubo com eixo ao longo de um campo magnético incorporado em um gás de elétron

$${\ displaystyle J_ {1} \ left (x \ right) = {a_ {1} \ over L_ {b}} {1 \ acima de 2 \ pi r} \ delta ^ {2} \ left (r-r_ {B1 }\certo)}

Onde $${\ displaystyle r}é a distância do centro de orientação ,$${\ displaystyle L_ {B}} é a largura do material na direção do campo magnético

$${\ displaystyle r_ {B1} = {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} v_ {1} \ sobre a_ {1} B} = {\ sqrt {2 \ hbar \ sobre m_ {1} \ omega _ {c}}}}

onde a freqüência do cíclotron é ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle \ omega _ {c} = {a_ {1} B \ sobre {\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} c}}

e

$${\ displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {2 \ hbar \ omega _ {c} \ over m_ {1}}}}

é a velocidade da partícula em torno do campo magnético e B é a magnitude do campo magnético. A fórmula da velocidade vem da configuração da energia cinética clássica igual ao espaçamento entre os níveis de Landau no tratamento quântico de uma partícula carregada em um campo magnético.

Nesta geometria, a energia de interação pode ser escrita

$${\ displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ acima de 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \; } D \ left (k \ right) \ mid {{mathcal {J}} _ {0} \ left {k {b} {right} {\ mathcal} J}} _ {0} \ left (kr_ {B2} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right)}

X

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Onde $${\ displaystyle r_ {12}} é a distância entre os centros dos loops atuais e

$${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ left (x \ right)}

é uma função de Bessel do primeiro tipo. Na obtenção da energia de interação utilizamos a integral

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ acima de 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ esquerdo (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} _ {0} \ left (p \ right).}

Campo elétrico devido a uma perturbação de densidade [ edit ]

O potencial químico próximo ao equilíbrio é dado por

$${\ displaystyle \ mu = -e \ varphi + N \ hbar \ omega _ {c} = N_ {0} \ hbar \ omega _ {c}}

Onde $${\ displaystyle -e \ varphi}é a energia potencial de um elétron em um potencial elétrico e$${\ displaystyle N_ {0}} e $${\ displaystyle N} são o número de partículas no gás de elétron na ausência de e na presença de um potencial eletrostático, respectivamente.

A flutuação de densidade é então

$${\ displaystyle \ delta n = {e \ varphi \ over \ hbar \ omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}}

Onde $${\ displaystyle A_ {M}} é a área do material no plano perpendicular ao campo magnético.

Equação de Poisson rendimentos

$${\ displaystyle \ left (k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} \ right) \ varphi = 0}

Onde

$${\ displaystyle k_ {B} ^ {2} = {4 \ pi e ^ {2} \ over \ hbar \ omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}.}

O propagador é então

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} = {1 \ sobre k ^ {2} + k_ {B} ^ {2}}}

e a energia de interação se torna

$${\ displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ acima de 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \ ;} \ over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {B1} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0 } \ left (kr_ {B2} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ à direita) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} ^ {2} \ left (k \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (k {r_ {12} \ sobre r_ {B}} \ right)}

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onde na segunda igualdade ( unidades gaussianas ) assumimos que os vórtices tinham a mesma energia e a carga de elétrons.

Em analogia com os plasmons , o portador de força é a versão quântica da oscilação híbrida superior que é uma onda de plasma longitudinal que se propaga perpendicularmente ao campo magnético.

Correntes com momento angular [ editar ]

Correntes de função delta [ editar ]

Figura 1. Energia de interação vs. r para estados de momento angular de valor um. As curvas são idênticas para todos os valores de$${\ displaystyle {\ mathit {l}} = {{\ mathit {l}} ^ {\ principal}}}. Comprimentos estão em unidades estão em$${\ displaystyle r _ {\ mathit {l}}}, e a energia está em unidades de $${\ displaystyle \ left ({e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right)}. Aqui$${\ displaystyle r = r_ {12}}. Note que existem mínimos locais para grandes valores de$${\ displaystyle k_ {B}}.

Figura 2. Energia de interação vs. r para estados de momento angular de valor um e cinco.

Figura 3. Energia de interação vs. r para vários valores de teta. A energia mais baixa é para$${\ displaystyle \ theta = {\ pi \ over 4}} ou $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} = 1}. A energia mais alta plotada é para$${\ displaystyle \ theta = 0.90 {\ pi \ over 4}}. Comprimentos estão em unidades de$${\ displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}.

Figura 4. Energias do estado de neutro para valores pares e ímpares de momento angular. A energia é plotada no eixo vertical e r é plotada na horizontal. Quando o momento angular total é par, o mínimo de energia ocorre quando$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} ou $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 2}}. Quando o momento angular total é ímpar, não há valores inteiros de momento angular que ficarão no mínimo de energia. Portanto, existem dois estados que estão em ambos os lados do mínimo. Porque$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ neq {\ mathit {l}} ^ {\ principal}}}, a energia total é maior do que quando $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} por um determinado valor de $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} ^ {*}}}.

Ao contrário das correntes clássicas, os loops de corrente quântica podem ter vários valores do raio de Larmor para uma determinada energia. ^{[9] Os} níveis de Landau , os estados de energia de uma partícula carregada na presença de um campo magnético, são múltiplos degenerados . Os loops de corrente correspondem aos estados de momento angular da partícula carregada que podem ter a mesma energia. Especificamente, a densidade de carga é atingida em torno dos raios de

$${\ displaystyle r _ {\ mathit {l}} = {\ sqrt {\ mathit {l}}} \; r_ {B} \; \; \; {\ mathit {l}} = 0,1,2, \ ldots}

Onde $${\ displaystyle {\ mathit {l}}}é o número quântico do momento angular . Quando$${\ displaystyle {\ mathit {l}} = 1}recuperamos a situação clássica em que o elétron orbita o campo magnético no raio de Larmor . Se correntes de dois momento angular{\ displaystyle {\ mathit {l}} _ {} ^ {}> 0} e $${\ displaystyle {\ mathit {l}} ^ {\ primo} \ geq {\ mathit {l}} _ {} ^ {}} interagem, e assumimos que as densidades de carga são funções delta no raio $${\ displaystyle r _ {\ mathit {l}}}, então a energia de interação é

$${\ displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + {_ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (k \ right) \; {\ mathcal {J} }} _ {0} \ left ({\ sqrt {{{\ mathit {l}} ^ {\ primo}} \ over {\ mathit {l}}}} \; k \ right) \; {\ mathcal { J}} _ {0} \ left (k {r_ {12} \ over r _ {\ mathit {l}}} \ right).}

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A energia de interação para $${\ displaystyle {\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} é dado na Figura 1 para vários valores de $${\ displaystyle k_ {B} r _ {\ mathit {l}}}. A energia para dois valores diferentes é dada na Figura 2.

Quasiparticles [ editar ]

Para grandes valores de momento angular, a energia pode ter mínimos locais em distâncias diferentes de zero e infinito. Pode-se verificar numericamente que os mínimos ocorrem em

$${\ displaystyle r_ {12} = r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ primo}} = {\ sqrt {{\ mathit {l}} + {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} \; r_ {B}.}

Isto sugere que o par de partículas que são ligadas e separadas por uma distância $${\ displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}agir como um único quasiparticle com momento angular$${\ displaystyle {\ mathit {l}} + {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}.

Se escalarmos os comprimentos como $${\ displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}, então a energia de interação se torna

$${\ displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + {_ {2}} {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ primo}} ^ {2}} \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (\ cos \ theta \; k \ right) \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (\ sin \ theta \; k \ right) \; {\ mathcal {J}} _ { 0} \ left (k {r_ {12} \ over r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ primo}}} \ right)}

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Onde

$${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}.}

O valor do $${\ displaystyle r_ {12}} em que a energia é mínima, $${\ displaystyle r_ {12} = r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}, é independente da relação $${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ primo}}}}. No entanto, o valor da energia no mínimo depende da relação. O mínimo de energia mais baixo ocorre quando

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} = 1.}

Quando a razão difere de 1, então o mínimo de energia é maior (Figura 3). Portanto, para valores iguais de momento total, a energia mais baixa ocorre quando (Figura 4)

$${\ displaystyle {\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime} = 1}

ou

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 2}}

onde o momento angular total é escrito como

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} ^ {*}} = {\ mathit {l}} + {{\ mathit {l}} ^ {\ prime}}.}

Quando o momento angular total é ímpar, os mínimos não podem ocorrer $${\ displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}.} Os estados de energia mais baixos para o momento angular total ímpar ocorrem quando

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = \; {{\ mathit {l}} ^ {*} \ pm 1 \ over 2 {\ mathit { l}} ^ {*}}}

ou

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ acima de 3}, {2 \ acima de 5}, {3 \ acima de 7}, {\ mbox {etc.,}}}

e

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {2 \ acima de 3}, {3 \ acima de 5}, {4 \ acima de 7}, {\ mbox {etc.,}}}

que também aparecem como séries para o fator de preenchimento no efeito Hall quântico fracionário .

Densidade de carga espalhada por uma função de onda [ edit ]

A densidade de carga não está realmente concentrada em uma função delta. A carga é distribuída por uma função de onda. Nesse caso, a densidade eletrônica é ^[10]

$${\ displaystyle {1 \ over \ pi r_ {B} ^ {2} L_ {B}} {1 \ sobre n!} \ left ({r \ over r_ {B}} \ right) ^ {2 {\ mathit {l}}} \ exp \ left (- {r ^ {2} \ over r_ {B} ^ {2}} \ right).}

A energia de interação se torna

$${\ displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} \; M \ left ({\ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right ) \\ M \ left {{mathit {l}} ^ {\ primo} +1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right) \; {\ mathcal {J}} _ {0 } \ left (k {r_ {12} \ over r_ {B}} \ right)}

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Onde $${\ displaystyle M}é uma função hipergeométrica confluente ou função Kummer . Na obtenção da energia de interação, usamos a integral (ver integrais comuns na teoria quântica de campos ).

$${\ displaystyle {2 \ over n!} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dr} \; r ^ {2n + 1} \ exp \ left (-r ^ {2} \ right) J_ {0 } \ left (kr \ right) = M \ left (n + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right).}

Tal como acontece com as taxas de função delta, o valor de $${\ displaystyle r_ {12}}em que a energia é um mínimo local depende apenas do momento angular total, não do momento angular das correntes individuais. Além disso, como acontece com as cargas da função delta, a energia no mínimo aumenta à medida que a relação entre o momento angular varia de um. Portanto, a série

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ acima de 3}, {2 \ acima de 5}, {3 \ acima de 7}, {\ mbox {etc.,}}}

e

$${\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {2 \ acima de 3}, {3 \ acima de 5}, {4 \ acima de 7}, {\ mbox {etc.,}}}

aparecem também no caso de cargas espalhadas pela função de onda.

A função de onda de Laughlin é um ansatz para a função de onda quase-partícula. Se o valor de expectativa da energia de interação for assumido em uma função de onda de Laughlin , essas séries também serão preservadas.

Magnetostáticos [ editar ]

Interação de Darwin no vácuo [ edit ]

Uma partícula em movimento carregada pode gerar um campo magnético que afeta o movimento de outra partícula carregada. A versão estática desse efeito é chamada de interação de Darwin . Para calcular isso, considere as correntes elétricas no espaço gerado por uma carga em movimento

$${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {x}} \ right) = a_ {1} {\ vec {v}} _ {1} \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {1} \ right)}

com uma expressão comparável para $${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {2}}.

A transformada de Fourier desta corrente é

$${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {k}} \ right) = a_ {1} {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (i { \ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} _ {1} \ right).}

A corrente pode ser decomposta em uma parte transversal e longitudinal (veja a decomposição de Helmholtz ).

$${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ v {{}} \ right) = a_ {1} \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k} } \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (eu {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} _ {1} \ right) + a_ {1 } \ left [{\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (eu {\ vec {k}} \ cdot { \ vec {x}} _ {1} \ right).}

O chapéu indica um vetor unitário . O último termo desaparece porque

$${\ displaystyle {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {J}} = - k_ {0} J ^ {0} \ rightarrow 0,}

que resulta da conservação de carga. Aqui$${\ displaystyle k_ {0}} desaparece porque estamos considerando forças estáticas.

Com a corrente desta forma a energia da interação pode ser escrita

$${\ displaystyle E = a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left (k \ right) \ mid _ { k_ {0} = 0} \; {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec { v}} _ {2} \; \ exp \ left (eu {\ vec {k}} \ cdot \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) \ right)}.

A equação propagadora da Laguna de Proca é

$${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ alpha} \ left (\ partial ^ {2} + m ^ {2} \ right) D ^ {\ alpha \ nu} \ left (xy \ right) = \ delta _ { \ mu} ^ {\ nu} \ delta ^ {4} \ left (xy \ right).}

A solução espacial é

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}} ,}

que produz

$${\ displaystyle E = -a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; {{\ vec {v}} _ {1 } \ cdot \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2} \ over {\ vec {k}} ^ {2 } + m ^ {2}} \; \ exp \ left (eu {\ vec {k}} \ cdot \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) \ right)}

que avalia a (ver integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} e ^ {- mr} \ left \ {{2 \ over \ left (mr \ right) ^ {2}} \ left (e ^ {mr} -1 \ right) - {2 \ over mr} \ right \} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2}}

que reduz a

$${\ displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ acima de 4 \ pi r} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2}}

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no limite de m pequeno. A interação energia é o negativo da interação Lagrangiana. Para duas partículas semelhantes viajando na mesma direção, a interação é atraente, que é o oposto da interação de Coulomb.

Interação de Darwin em um plasma [ editar ]

Em um plasma, a relação de dispersão para uma onda eletromagnética é ^[11] ($${\ displaystyle c = 1})

$${\ displaystyle k_ {0} ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2},}

que implica

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + \ omega _ {p} ^ {2}}.}

Aqui $${\ displaystyle \ omega _ {p}}é a frequência do plasma . A energia de interação é, portanto,

$${\ displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ acima de 4 \ pi r} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2} \; e ^ {- \ omega _ {p} r} \ left \ {{2 \ over \ left (\ omega _ {p} r \ right) ^ {2}} \ left (e ^ {\ omega _ {p} r} -1 \ right) - {2 \ over \ omega _ {p} r} \ right \}.}

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Interação magnética entre loops de corrente em um plasma simples ou gás de elétron [ editar ]

A energia da interação [ edit ]

Considere um tubo de corrente girando em um campo magnético embutido em um simples plasma ou gás de elétrons. A corrente, que fica no plano perpendicular ao campo magnético, é definida como

$${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {x}} \ right) = a_ {1} v_ {1} {1 \ acima de 2 \ pi rL_ {B}} \; \ delta ^ {2} \ left (r-r_ {B1} \ right) \; \ left ({{\ hat {b}} \ times {\ hat {r}}} \ right)}

Onde

$${\ displaystyle r_ {B1} = {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} v_ {1} \ sobre a_ {1} B}}

e $${\ displaystyle {\ hat {b}}}é o vetor unitário na direção do campo magnético. Aqui$${\ displaystyle L_ {B}}indica a dimensão do material na direção do campo magnético. A corrente transversal, perpendicular ao vetor de onda , impulsiona a onda transversal .

A energia da interação é

$${\ displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ acima de 2 \ pi L_ {B}} \ right) v_ {1} \, v_ {2} \, \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \}} D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} {\ mathcal {J}} _ {1} \ restante (kr_ {B1} \ right) {\ mathcal {J}} _ {1} \ left (kr_ {B2} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) }

Onde $${\ displaystyle r_ {12}} é a distância entre os centros dos loops atuais e

$${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ left (x \ right)}

é uma função de Bessel do primeiro tipo. Na obtenção da energia de interação utilizamos as integrais

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ acima de 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ esquerdo (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} _ {0} \ left (p \ right)}

e

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ acima de 2 \ pi} \ cos \ restantes (\ varphi \ right) \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right) ) \ right) = i {\ mathcal {J}} _ {1} \ left (p \ right).}

Veja Integrais Comuns na Teoria Quântica de Campos .

Uma corrente em um plasma confinado ao plano perpendicular ao campo magnético gera uma onda extraordinária . ^[12] Esta onda gera correntes Hall que interagem e modificam o campo eletromagnético. A relação de dispersão para ondas extraordinárias é ^[13]

$${\ displaystyle -k_ {0} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2} + \ omega _ {p} ^ {2} {\ left (k_ {0} ^ {2} - \ omega _ {p} ^ {2} \ right) \ over \ left (k_ {0} ^ {2} - \ omega _ {H} ^ {2} \ right)} = 0,}

que dá para o propagador

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} \; = \; - \ left ({1 \ over {\ vec {k}} ^ {2 } + k_ {X} ^ {2}} \ right)}

Onde

$${\ displaystyle k_ {X} \ equiv {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {H}}}

em analogia com o propagador de Darwin. Aqui, a freqüência do híbrido superior é dada por

$${\ displaystyle \ omega _ {H} ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + \ omega _ {c} ^ {2},}

a freqüência do cíclotron é dada por ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle \ omega _ {c} = {eB \ over mc},}

e a freqüência de plasma ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ over m}.}

Aqui n é a densidade eletrônica, e é a magnitude da carga de elétrons, e m é a massa de elétrons.

A energia de interação torna-se, para correntes semelhantes,

$${\ displaystyle E = - \ left ({a ^ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) v ^ {2} \, \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {X} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {1} ^ {2} \ left (kr_ {B} \ right) { \ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right)}

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Limite de pequena distância entre os loops de corrente [ edit ]

No limite que a distância entre os loops de corrente é pequena,

$${\ displaystyle E = -E_ {0} \; I_ {1} \ left (\ mu \ right) K_ {1} \ left (\ mu \ right)}

Onde

$${\ displaystyle E_ {0} = \ left ({a ^ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) v ^ {2}}

e

$${\ displaystyle \ mu = {\ omega _ {p} ^ {2} r_ {B} \ over \ omega _ {H}} = k_ {X} \; r_ {B}}

e eu e K são funções modificadas de Bessel. Assumimos que as duas correntes têm a mesma carga e velocidade.

Nós fizemos uso da integral (veja integrais comuns na teoria quântica de campos )

$${\ displaystyle \ int _ {o} ^ {\ infty} {k \; dk \ over k ^ {2} + m ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {1} ^ {2} \ restante (kr \ right) = I_ {1} \ left (mr \ right) K_ {1} \ left (mr \ right).}

Para o pequeno senhor, a integral se torna

$${\ displaystyle I_ {1} \ left (mr \ right) K_ {1} \ left (mr \ right) \ rightarrow {1 \ acima de 2} \ left [1- {1 \ over 8} \ left (mr \ right ) ^ {2} \ right].}

Para grande senhor, a integral se torna

$${\ displaystyle I_ {1} \ left (mr \ right) K_ {1} \ left (mr \ right) \ rightarrow {1 \ acima de 2} \; \ left ({1 \ over mr} \ right).}

Relação com o efeito Hall quântico [ editar ]

O número de onda de triagem pode ser escrito ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle \ mu = {\ omega _ {p} ^ {2} r_ {B} \ over \ omega _ {H} c} = \ left ({2e ^ {2} r_ {B} \ over L_ {B } \ hbar c} \ right) {\ nu \ over {\ sqrt {1 + {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {c} ^ {2}}}} = 2 \ alpha \ left ({r_ {B} \ over L_ {B}} \ right) \ left ({1 \ over {\ sqrt {1 + {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {c} ^ {2}}}}} \ right) \ nu}

Onde $${\ displaystyle \ alpha}é a constante de estrutura fina e o fator de enchimento é

$${\ displaystyle \ nu = {2 \ pi \ n \ hbar c \ over eBA}}

e N é o número de elétrons no material e A é a área do material perpendicular ao campo magnético. Este parâmetro é importante no efeito Hall quântico e no efeito Hall quântico fracionário . O fator de preenchimento é a fração de estados de Landau ocupados na energia do estado fundamental.

Para casos de interesse no efeito Hall quântico, $${\ displaystyle \ mu}é pequeno. Nesse caso, a energia de interação é

$${\ displaystyle E = - {E_ {0} \ acima de 2} \ left [1- {1 \ over 8} \ mu ^ {2} \ right]}

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onde ( unidades gaussianas )

$${\ displaystyle E_ {0} = {4 \ pi} {e ^ {2} \ over L_ {B}} {v ^ {2} \ over c ^ {2}} = {8 \ pi} {e ^ { 2} \ over L_ {B}} \ left ({\ hbar \ omega _ {c} \ over mc ^ {2}} \ right)}

é a energia de interação para fator de preenchimento zero. Nós estabelecemos a energia cinética clássica para a energia quântica

$${\ displaystyle {1 \ over 2} mv ^ {2} = \ hbar \ omega _ {c}.}

Gravitação [ edit ]

Um distúrbio gravitacional é gerado pelo tensor de tensão-energia $${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}; consequentemente, o Lagrangiano para o campo gravitacional é spin -2. Se as perturbações estão em repouso, então o único componente do tensor de tensão-estresse que persiste é o$${\ displaystyle 00}componente. Se usarmos o mesmo truque de dar ao gravitão alguma massa e depois levar a massa a zero no final do cálculo, o propagador se torna

$${\ displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {4 \ over 3} {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}}}

e

$${\ displaystyle E = - {4 \ over 3} {a_ {1} a_ {2} \ acima de 4 \ pi r} \ exp \ left (-mr \ right)},

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que é mais uma vez atraente do que repulsivo. Os coeficientes são proporcionais às massas das perturbações. No limite da massa gravitacional pequena, recuperamos o comportamento inverso-quadrado da Lei de Newton. ^[14]

Ao contrário do caso eletrostático, no entanto, tomar o limite de massa pequena do bóson não produz o resultado correto. Um tratamento mais rigoroso produz um fator de um na energia, em vez de 4/3. ^[15]